[ Pobierz całość w formacie PDF ]
MATEMATYKA STOSOWANA 9, 2008
Karina Piwarska
(Warszawa)
Kamil Kulesza
(Warszawa, Cambridge)
Zakład o przelot, czyli matematyka finansowa
i bilety tanich linii lotniczych
Streszczenie. Rynki instrumentów pochodnych należą obecnie do jednych z najciekaw-
szych obszarów badań w matematyce finansowej. Są też obszarem, gdzie spotykają się
teoria i praktyka, tak ważne w rzetelnie uprawianej matematyce stosowanej. Zachodzi
tam ożywiona wymiana idei pomiędzy matematykami a ekonomistami, choć de facto ma
ona charakter bardziej interdyscyplinarny, angażując np. informatyków i fizyków. Rów-
nolegle dynamiczny rozwój rynków i pojawianie się coraz szerszej gamy instrumentów
pochodnych pozwalają na włączanie do tego zbioru coraz to nowych obiektów.
W naszej pracy pokazujemy, że skoro zakładać się można „o wszystko”, a instrumenty po-
chodne są rodzajem giełdowego zakładu, to bilety tanich linii lotniczych można opisać jako
specyficzne opcje. Uwzględniając rzeczywiste warunki rynkowe i ograniczenia narzucone
w regulaminach tanich przewoźników, przedstawimy alternatywny dla już istniejących
sposób podejścia do wyceny takich instrumentów oraz metody konstrukcji i optymalizacji
portfela złożonego z biletów, który może mieć zastosowanie zarówno do celów spekulacyj-
nych, jak i korporacyjnych.
Słowa kluczowe: matematyka finansowa, rynek instrumentów pochodnych, analiza sys-
temowa, tanie linie lotnicze
Wstęp. „Gra wygląda tak: grupa ludzi, najmniej dwie, a najwięcej dzie-
sięć, siada w koło. Każdy gracz przyciska do piersi banknot dolarowy. (
...
)
Każdy gracz stara się oszukać innych co do seryjnego numeru banknotu trzy-
manego w ręku. Jeden gracz zaczyna rozgrywkę, mówiąc na przykład „trzy
szóstki”. Znaczy to, że seryjne numery wszystkich trzymanych przez graczy
banknotów, włącznie z jego banknotem, zawierają co najmniej trzy szóstki.
...
Następny gracz (
...
) ma do wyboru dwie możliwości. Może zalicytować
wyżej (trzy siódemki, ósemki, dziewiątki) lub większą liczbę jakichkolwiek cyfr
[
...
]. Może też „wyzwać” – powiedzieć coś w rodzaju „sprawdzam”. Licyta-
cje odbywa się do chwili, gdy wszyscy gracze zgodzą się sprawdzać odzywkę
jednego z nich.” –„Pokerkłamców.
...
” Michael Lewis [1].
Powyższy fragment opisuje grę – „pokera kłamców” – w którą grywali
[91]
92
K. Piwarska, K. Kulesza
między sobą traderzy(
1
) w banku inwestycyjnym Salomon Brothers, jed-
nym z dużych i dobrze prosperujących banków inwestycyjnych działających
w drugiej połowie XX wieku na Wall Street. Jak dodaje niedługo po tym
fragmencie autor: ”Dla dobrego gracza matematyczna strona rozgrywki nie
przedstawia trudności” (zwłaszcza, że „Większość z nich była doktorami ma-
tematyki, ekonomii lub fizyki”), jednak to właśnie element ludzki – możliwość
blefu – nadawał grze naprawdę interesujący i skomplikowany wymiar. Mi-
chael Lewis pisze dodatkowo: „Gra zawiera w sobie pewien element gry na
giełdzie (
...
) Pytania, jakie zadaje sobie grający w „pokera kłamców”, są
takie same, jak te, które zadaje sobie trader. Czy warto podjąć ryzyko? Czy
mam szanse? Na ile przebiegły jest mój przeciwnik? Czy wie co robi, a jeśli
nie, jak wykorzystać jego niewiedzę? (
...
) Każdy gracz szuka słabych punk-
tów, przewidywalnych elementów i schematów w odzywkach innych graczy,
jednocześnie starając się nie ujawniać swoich” [1]. Owa gra stanowiła dobry
przykład na to jak mając żyłkę tradera, zakładać można się dosłownie „o
wszystko”.
Na rynkach finansowych takim odpowiednikiem zakładów są instrumenty
pochodne (inaczej zwane derywatami), ich cena uzależniona jest od ceny
innego instrumentu, zwanego bazowym lub podstawowym. Natomiast wy-
płata, jaką otrzymuje posiadacz takiego typu kontraktu, zależy ściśle od
ceny instrumentu bazowego oraz warunków ustalonych w momencie zawie-
rania umowy. Jednym z takich warunków jest cena wykonania, która mówi
po jakiej cenie chcemy kupić lub sprzedać instrument bazowy w określonym
momencie czasu w przyszłości. Tę cenę możemy potraktować intuicyjnie jako
przedmiot zakładu. Tego typu kontrakty służą, przynajmniej w teorii, do za-
bezpieczenia inwestora przed niekorzystnymi dla niego efektami wahań cen
instrumentów bazowych. Do tych ostatnich należą towary, akcje, kursy wa-
lut, wartość stopy procentowej, indeksy giełdowe bądź inne specjalistyczne
indeksy. Jak widać, instrumenty pochodne związane są w większości ze zja-
wiskami i obiektami finansowymi, ewentualnie ekonomicznymi, okazuje się
jednak, że na tym lista potencjalnych instrumentów bazowych się nie koń-
czy – kolejne derywaty powstawały np. z wykorzystaniem wiedzy o pogodzie
i katastrofach naturalnych. Na instrumenty te można patrzeć jako na sposób
transferu ryzyka ubezpieczeniowego na rynek kapitałowy.
Ważnym impulsem do powstawania instrumentów pochodnych na kata-
strofy był huragan Andrew w USA w 1992 roku. Wtedy to, w wyniku dużych
strat spowodowanych przez huragan, wzrósł popyt na ubezpieczenia, których
ceny zaczęły rosnąć. W efekcie inwestorzy mogli po raz pierwszy przyjmować
(
1
) Mianem tym w amerykańskich i brytyjskich bankach inwestycyjnych określa się
pracowników odpowiedzialnych za wykonywanie transakcji. Najbliższym polskim odpo-
wiednikiem tradera jest makler.
Zakład o przelot, czyli matematyka finansowa i bilety tanich linii lotniczych
93
ryzyko związane z konkretnym wydarzeniem w formie inwestycji w papiery
wartościowe towarzystwa ubezpieczeniowego [2].
Pomysł kolejnych „niefinansowych” instrumentów pochodnych można by
podsumować słowami Benjamina Franklina: „Nic na tym świecie nie jest
pewne
...
oprócz śmierci i podatków”. Nowe derywaty mają pomóc oszacować
ryzyko związane z „ryzykiem długowieczności” (dotyczy to liczby zgonów
i stopy śmierci). W 2006 roku po raz pierwszy sprzedano inwestorom „obli-
gacje umieralności” (określają one ryzyko związane z gwałtownym wzrostem
stopy zgonów) o wartości niemal 1miliarda euro. A kolejnym – dość natu-
ralnym – klientem wydają się być towarzystwa emerytalne [3].
W naszym artykule, pokażemy, że bilet taniej linii lotniczej można po-
traktować jak instrument pochodny – a dokładnie opcję. Przedstawimy
także alternatywny do powszechnie stosowanych model wyceny instrumen-
tów tego typu. Plan artykułu jest następujący: kolejno przypomnimy defi-
nicje i kilka faktów dotyczących instrumentów pochodnych, w szczególności
opcji, następnie wytłumaczymy, dlaczego bilety tanich linii lotniczych można
potraktować jako kontrakty opcyjnie, a ostatni fragment tekstu poświęcimy
opisowi modelu matematycznego badanego instrumentu i rozważaniu na te-
mat konstrukcji i optymalizacji portfela biletów tanich linii. W Dodatku A
Czytelnik będzie mógł znaleźć podsumowanie informacji na temat działania
tanich linii lotniczych.
1. Opcje i inne instrumenty pochodne. Na początek podamy pod-
stawowe informacje na temat instrumentów pochodnych i opcji, wykorzy-
stując terminologię i notację z prac Rutkowskiego [4] oraz Werona [5].
1.1. Instrumenty pochodne. Instrument pochodny (inaczej derywat)
jest umową zobowiązującą obie strony do zawarcia transakcji na wcześniej
określonych warunkach. Nabywca (zajmujący tzw. pozycję długą) zobowią-
zuje się zapłacić ustaloną cenę za dostarczony przedmiot kontraktu, nato-
miast sprzedający (zajmujący tzw. pozycję krótką) ma dostarczyć przedmiot
kontraktu w umówionym terminie. Przedmiot kontraktu nazywany jest in-
strumentem bazowym lub podstawowym. Instrumenty pochodne stanowią
bogatą grupę instrumentów finansowych, jednak najczęściej omawianymi
typami są kontrakty forward, futures, swap i opcje(
2
). Zanim przejdziemy
do bardziej szczegółowego opisu opcji, hasłowo przedstawimy trzy pierwsze
typy kontraktów.
Kontrakty forward są kontraktami niestandaryzowanymi, dlatego handel
nimi odbywa się na rynku pozagiełdowym. Jedna ze stron zobowiązuje się do
dostarczenia danego dnia określonego towaru lub aktywa, natomiast druga
– do nabycia go po cenie określonej w momencie zawarcia umowy. Często
(
2
)Ang.
option
.
94
K. Piwarska, K. Kulesza
zamiast fizycznego dostarczenia przedmiotu transakcji ma miejsce jedynie
odpowiednie rozliczenie gotówkowe.
Kontrakty futures w sensie funkcjonalności przypominają kontrakty for-
ward. Jednakże są one instrumentami wystandaryzowanymi, zatem wartość
kontraktu wyznaczana jest na rynku, a każda ze stron kontraktu ma możli-
wość zamknięcia go przed terminem wygaśnięcia w dowolnej chwili poprzez
zajęcie pozycji przeciwnej.
Kontrakt swap (wymiany) zobowiązuje obie strony umowy do wymiany
przepływów pieniężnych w określonych przedziałach czasu. W zależności od
typu umowy strony płacą „raty” według stopy stałej lub zmiennej ewentu-
alnie w różnych walutach.
1.2. Opcje. Po nieformalnym zaprezentowaniu kilku rodzajów instru-
mentów pochodnych przechodzimy do szczegółowego opisu tego, który inte-
resuje nas najbardziej – opcji.
Definicja 1.2.1.Kontraktopcyjny(opcja)jestumową,napodstawie
której jedna strona (posiadacz opcji) ma prawo do zrealizowania opisanej
umową transakcji albo otrzymania określonej wypłaty, a druga (wystawca
opcji) zobowiązuje się być stroną transakcji lub wypłacić wyznaczoną kwotę.
Jak widać opcja nie jest instrumentem ”symetrycznym” – tzn. zajmu-
jący pozycję długą będzie realizował umowę tylko wtedy, kiedy będzie to dla
niego korzystne (więc nie straci), natomiast strona umowy zajmująca pozy-
cję krótką ma obowiązek ją wykonać, jeśli druga strona tego chce (zatem nie
zyska). Z tego powodu wystawca otrzymuje od nabywcy tzw. premię, która
ma zrekompensować asymetrię. Kontrakt opcyjny określa wyraźnie: termin
wygaśnięcia opcji
T
, termin lub terminy, w których opcja może być reali-
zowana, rodzaj opcji – w tym formułę wyliczania premii – oraz instrument
bazowy. Ten ostatni parametr jest obiektem, o którego cenę „zakładają się”
strony, a punktem odniesienia jest cena wykonania – cena, po jakiej wy-
stawca opcji jest zobowiązany sprzedać lub kupić (w zależności od rodzaju
opcji) instrument bazowy. W zależności od tego, o jaki instrument bazowy
chodzi, dzielimy (podajemy tu najbardziej tradycyjne przykłady) opcje na:
akcje, indeksy giełdowe, waluty, obligacje, kontrakty futures, stopy procen-
towe, kontrakty IRS (kontrakty wymiany na stopę procentową).
Termin bądź terminy możliwej realizacji opcji narzucają kolejny podział:
•
opcje europejskie (realizacja kontraktu może nastąpić tylko w terminie
wygaśnięcia opcji);
•
opcje amerykańskie (można wykonać opcję w dowolnym terminie aż do
i włącznie z dniem wygaśnięcia);
•
opcje bermudzkie (mają określone kilka momentów w okresie do wyga-
śnięcia opcji, w których można je wykonać).
Zakład o przelot, czyli matematyka finansowa i bilety tanich linii lotniczych
95
Kolejne rozróżnienia dotyczą między innymi sposobów obliczania wy-
płaty z opcji lub warunków, jakie mogą aktywować lub blokować wykonanie
opcji. Klasyfikacja tego rodzaju jest bardzo bogata, my pozwolimy sobie
podać jedynie charakterystyki konieczne do zrozumienia tego artykułu.
Definicja
1.2.2. Opcje waniliowe (ang. plain vanilla options)sątokon-
trakty, w których przedmiotem umowy jest kupno/sprzedaż (odpowiednio
jest to opcja kupna – ang. call/opcja sprzedaży – ang. put) danego instru-
mentu bazowego po określonej cenie wykonania
K
.
Przy tak opisanych warunkach w dowolnej chwili
t
wartość opcji dla
posiadacza wynosi odpowiednio: dla opcji kupna – max(
S
t
−K,
0), dla opcji
sprzedaży – max(
K − S
t
,
0), gdzie
S
t
jest ceną aktywa w chwili
t
.Profile
wypłat nabywcy opcji kupna i sprzedaży przedstawiają wykresy 1.1.a i 1.1.b.
Wykres 1.1. Profile wypłaty nabywcy w opcji kupna (a) i sprzedaży (b).
Definicja
1.2.3. W zależności od relacji ceny opcji
S
t
i ceny wykonania
K
rozróżnia się trzy sytuacje. Opcja jest:
•
w cenie (ang. in the money), gdy opłaca się ją wykonać, czyli dla opcji
kupna
S
t
>K
(dla opcji sprzedaży nierówność jest przeciwna),
•
po cenie (ang. at the money), gdy cena wykonania jest równa cenie in-
strumentu bazowego,
•
nie w cenie (ang. out of the money), gdy nie opłaca się jej wykonać, czyli
dla opcji kupna
S
t
<K
(nierówność jest odwrotna dla opcji sprzedaży).
Uwaga
1.2.4. Im dłuższy czas do terminu wygaśnięcia, tym większa jest
wartość zarówno opcji kupna, jak i opcji sprzedaży. Tłumaczy się to zwykle
tym, że im więcej czasu pozostało do terminu wygaśnięcia opcji, tym więcej
może się jeszcze zmienić, a ponieważ wypłata z opcji jest ograniczona z dołu
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]